Comprendre les fonctions en mathématiques : définitions, types et exercices corrigés
Les fonctions sont un concept fondamental en mathématiques, aussi bien au collège qu’au lycée. Elles permettent de modéliser des situations concrètes, de décrire des phénomènes et d’étudier des relations entre différentes grandeurs.
Qu’est-ce qu’une fonction ?
Une fonction est une relation qui, à chaque valeur d’une variable appelée x, associe une unique valeur appelée f(x).
Notation
On écrit généralement une fonction sous la forme :
f : x ↦ f(x) ou simplement f(x).
Exemple simple
Si f(x) = 2x + 3, alors :
- f(1) = 2×1 + 3 = 5
- f(4) = 2×4 + 3 = 11
Chaque x a un seul f(x). C’est ce qui fait d’elle une fonction.
Les différents types de fonctions
1. Fonction affine
Forme générale : f(x) = ax + b
C’est une droite.
Exemple : f(x) = 2x + 1
2. Fonction linéaire
Cas particulier de la fonction affine où b = 0
Exemple : f(x) = 3x
3. Fonction constante
Forme : f(x) = c (où c est un réel)
La fonction donne toujours la même valeur.
4. Fonction carré
Forme : f(x) = x²
Courbe : une parabole symétrique autour de l’axe y.
5. Fonction inverse
Forme : f(x) = 1/x
Définie pour x ≠ 0.
6. Fonction racine carrée
Forme : f(x) = √x
Définie pour x ≥ 0.
Représentation graphique d’une fonction
La représentation graphique d’une fonction est l’ensemble des points (x ; f(x)) dans un repère.
Exemple : pour f(x) = 2x, on peut tracer :
- f(0) = 0 → point (0 ; 0)
- f(1) = 2 → point (1 ; 2)
- f(2) = 4 → point (2 ; 4)
On trace ensuite la droite qui passe par tous ces points.
Lecture graphique
À partir d’un graphe, on peut :
- Lire l’image d’un nombre (trouver f(x) pour un x donné)
- Lire les antécédents d’un nombre (trouver x pour un f(x) donné)
- Identifier les variations (croissante ou décroissante)
- Déterminer le signe (positif ou négatif)
Exercices corrigés sur les fonctions
✏️ Exercice 1 : Calcul d’image
Soit f(x) = 3x – 5. Calcule :
- f(0)
- f(2)
- f(-1)
Correction :
- f(0) = 3×0 – 5 = -5
- f(2) = 3×2 – 5 = 6 – 5 = 1
- f(-1) = 3×(-1) – 5 = -3 – 5 = -8
✏️ Exercice 2 : Lecture graphique
Sur un graphique donné, f(x) est une fonction affine. D’après la courbe :
- Quelle est l’image de 2 ?
- Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = 0 ?
Correction :
(On imagine la lecture sur une droite passant par les points (0 ; -1) et (2 ; 3))
- f(2) = 3
- f(x) = 0 lorsque x = 0.5 (car la droite coupe l’axe x à 0.5)
✏️ Exercice 3 : Étude de variations
Soit f(x) = -2x + 4
- Étudier les variations de f(x)
- Donner le sens de variation
Correction :
Le coefficient de x est -2 < 0, donc la fonction est décroissante.
Plus x augmente, plus f(x) diminue.
✏️ Exercice 4 : Résolution graphique
Une courbe représente la fonction g. Résous graphiquement :
- g(x) = 2
- g(x) < 0
Correction :
- g(x) = 2 : repérer les points où la courbe coupe la droite d’ordonnée 2 → lire les x correspondants.
- g(x) < 0 : identifier la portion de courbe sous l’axe x → déterminer les valeurs de x concernées.
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Les fonctions sont partout en mathématiques, que ce soit pour représenter une situation économique, physique ou encore biologique. Comprendre leur fonctionnement, savoir les manipuler algébriquement et les interpréter graphiquement est essentiel pour réussir ses études mathématiques. Grâce à des exemples concrets et des exercices corrigés, vous pouvez progresser rapidement.
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