Les 10 erreurs à éviter lors du calcul des limites d’une fonction

Le calcul des limites est une compétence essentielle en mathématiques, notamment dans les classes préparant aux examens. Cependant, il est facile de commettre des erreurs si l’on n’y prête pas attention. Voici les 10 erreurs les plus courantes lors du calcul des limites d’une fonction, accompagnées d’exemples pratiques et de conseils pour les éviter.

1. Négliger l’étude du domaine de définition

Avant de calculer une limite, il est impératif de vérifier où la fonction est définie. Ignorer cette étape peut conduire à des erreurs.

Exemple :

Trouver la limite de \( f(x) = \frac{1}{x – 2} \) lorsque \( x \to 2 \).

• La fonction \( f(x) \) n’est pas définie en \( x = 2 \), car le dénominateur s’annule.
• Une erreur serait de supposer que la fonction tend vers une valeur finie. En réalité, la limite est infinie : \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty \) et \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \).

Conseil : Étudiez le domaine de définition avant tout calcul.

2. Confondre limite et valeur de la fonction

Beaucoup d’élèves pensent que la limite d’une fonction en un point correspond nécessairement à sa valeur en ce point. Ce n’est pas toujours vrai, surtout si la fonction est discontinue.

Exemple :

Trouver la limite de \( f(x) = \frac{x^2 – 1}{x – 1} \) lorsque \( x \to 1 \).

• La fonction n’est pas définie en \( x = 1 \) car le dénominateur s’annule.
• Après simplification (\( f(x) = x + 1 \) pour \( x \neq 1 \)), on obtient : \( \lim_{x \to 1} f(x) = 1 + 1 = 2 \).

Conseil : Ne confondez pas la valeur de \( f(1) \) (qui n’existe pas ici) avec la limite.

3. Mal interpréter les formes indéterminées

Lorsqu’une limite donne une forme indéterminée comme \( \frac{0}{0} \), \( \infty – \infty \), ou \( 0 \cdot \infty \), il faut appliquer des techniques spécifiques.

Exemple :

Calculer \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \).

• En remplaçant directement \( x \) par 0, on obtient la forme \( \frac{0}{0} \), qui est indéterminée.
• En utilisant le résultat standard \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \), on trouve la bonne réponse.

Conseil : Apprenez à identifier les formes indéterminées et utilisez des techniques comme la factorisation, la simplification ou les théorèmes standards.

4. Oublier les comportements asymptotiques

Ne pas tenir compte des comportements asymptotiques peut fausser les résultats, surtout lorsque \( x \to \infty \).

Exemple :

Trouver \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x}{2x^2 + x + 7} \).

• En négligeant les termes de plus petit degré, on obtient : \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{2x^2} = \frac{3}{2} \).

Conseil : Pour \( x \to \infty \), simplifiez en divisant le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de \( x \).

5. Négliger les limites latérales

Certaines fonctions ont des comportements différents selon que \( x \to a^+ \) (par la droite) ou \( x \to a^- \) (par la gauche).

Exemple :

Trouver \( \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x} \).

• Si \( x \to 0^+ \), \( \frac{|x|}{x} = 1 \).
• Si \( x \to 0^- \), \( \frac{|x|}{x} = -1 \).
• La limite n’existe donc pas, car les limites à droite et à gauche sont différentes.

Conseil : Calculez toujours les limites latérales avant de conclure pour les points où le comportement de la fonction peut changer.

6. Simplifier trop tôt sans prudence

Certains élèves simplifient une expression sans vérifier les restrictions ou les conditions.

Exemple :

Trouver \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2} \).

• Une simplification directe donne \( \frac{(x – 2)(x + 2)}{x – 2} = x + 2 \), mais cette simplification n’est valable que pour \( x \neq 2 \).
• En réalité, la limite est \( \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \).

Conseil : Vérifiez toujours que vos simplifications respectent le domaine de la fonction.